正如现实世界在镜子中的像一样，赋范线性空间也有它的对偶空间，一个算子也有它的共轭算子，共轭的概念主要出自于代数，是一种对称性的刻画，为后面的理论研究有很大帮助。
第4章 共轭空间与共轭算子
共轭空间的基本概念以及表示定理
定义4.1
称$X^*$为$X$的共轭空间
注：从定义上来看，实际就是从X到数域K的有界线性算子全体
$L^p[a,b]$的共轭空间
$ f $ 是 $ L^{p}[a, b] $ 上的有界线性泛函, 则存在唯一的 $ y(t) \in L^{q}[a, b],\left(\frac{1}{p}+\right. \left.\frac{1}{q}=1\right) $, 使得
$f(x)=\int_{a}^{b} x(t) y(t) \mathrm{d} t, \forall x \in L^{p}[a, b],$$\text { 且 }\|f\|=\|y\|_{q}=\left(\int_{a}^{b}|y(t)|^{q} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} \text {. }$
Rieze表示定理
设 $ H $ 是一个 Hilbert 空间, $ f$ 是 $ H$ 上定义的有界 线性泛函, 则存在唯一的 $ y_{f} \in H $, 使得
$f(x)=\left(x, y_{f}\right), \forall x \in H$
推论（Hilbert空间的共轭空间）
设 $ H $ 是一个 Hilbert 空间，则$H=H^*$. 此处的等号表示同构意义下的相等，不是集合相等
注：上面的几个定理实际给出了一类特殊的算子（泛函）的表示形式，比如有限维空间下的线性变换
可以用矩阵表示，如果映射到数域K上，那么这个矩阵实际就是一个向量，原本线性变换只是一个抽象
的符号，以及用映射的定义来表示，通过同构，可以用一个具体的空间中的元素来把线性变换表示出来
在无穷维线性空间中，泛函同样可以有一个具体的表示形式，泛函空间一样可以同构到一个具体的空间
共轭算子的提出
原始定义
Hilbert空间上的共轭算子
从物理角度来看
共轭算子定义的合理性
由于原始定义涉及4个空间，很复杂，这里仅讨论Hilbert空间上的共轭算子定义的合理性
（1）. $T^*$ 的存在性：
取定$T,y$ , 定义 $f_{T,y}(x)=(Tx,y)$ 是H上的有界线性泛函，由Riesz表示定理，存在唯一的$z \in H,st. f_{T,y}(x) $=(x,z) ,
所以有$(Tx,y)=(x,z)$.
不妨记$z=Ay$ , 则$(Tx,y)=(x,Ay)$ , 故算子存在，但此时并不知道这是一个怎样的算子
（2）. $T^*$ 的线性性：
一方面，由上面可知，$(Tx,y_1+y_2)=(x,A(y_1+y_2))$
另一方面，由内积的线性性可知，$(Tx,y_1+y_2)=(Tx,y_1)+(Tx,y_2)=(x,Ay_1)+(x,Ay_2)=(x,Ay_1+Ay_2))$
所以，$(Tx,y_1+y_2)=(x,A(y_1+y_2))=(x,Ay_1+Ay_2)$
如法炮制，容易证明$(Tx,ky)=(x,A(ky))=(x,kA(y))$
那么对于算子A有：$A(y_1+y_2)=Ay_1+Ay_2 , A(ky)=kA(y) $
A是线性算子
（3）. $T^*$ 的有界性：
$\|Ay\|=\|z\| \quad \overset{Riesz表示定理}{=} \quad \|f_{T,y}\| \leq \|T\|\cdot\|y\| $
综上所述，这样的算子存在，后面记$A=T^*$
共轭算子的基本性质
设 $ A 、 B $ 是 Hilbert 空间 $ H $ 上的有界线性算子, 则
（1）.$\|A^\ast\|=\|A\|, (A^\ast)^ \ast=A; $
（2）. $ (A+B)^\ast=A^*+B^\ast ; $
（3）. $ (A B)^\ast=B^\ast A^\ast $
（4）. $ (\alpha A)^\ast=\bar{\alpha} A^\ast , \forall \alpha \in \mathbb{K} ; $
（5）. $ \|A^\ast A\|=\|A A^\ast \|=\|A\|^{2}=\|A^\ast \|^{2} $
（6）. 若 $ A^{-1} $ 存在且有界, 则 $(A^\ast )^{-1}$ 也存在且有界, 且$ \left(A^\ast \right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast . $
证明：
较为简单，略
有界自共轭算子的性质
设 $ A 、 B $ 是 Hilbert 空间 $ H $ 上的有界自共轭线性算子, 则
（1）. $ AB $ 自共轭 $\Leftrightarrow AB=BA ;$
（2）. $ A $ 自共轭 $\Leftrightarrow (x,Ax) \text{是实的} ;$
（3）. $\|A\|=\sup\limits_{\|x\|=1}(x,Ax) . $
证明：
（1）较为简单，（2）、（3）需要用到类似平行四边形法则的公式变形，纯技巧，证明略