主要介绍赋范的线性算子空间，了解算子范数的定义，算子列的收敛，算子空间的完备性等
第2章 算子空间
定义2.1
设 $ X, X_{1} $ 是赋范空间, $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 表示从 $ X $ 到 $ X_{1} $ 的全体有界线性算子. 如果 $ X=X_{1} $ , 我们把 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 简记为 $ \mathscr{B}(X) $ .
接下来在 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 上定义线性运算和范数，使 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 在代数结构上成为一个线性空间，在拓扑结构上成为一个赋范空间：
范数的基本不等式
算子列的几种收敛
1.按范数收敛（一致收敛）：
记作：
2.强收敛（点态收敛）：
记作：
3.弱收敛：
记作：
4.几种收敛性的关系：
证明：
（1）. $ \|T_nx-Tx\| \leq \|T_n-T\| \|x\| \leq \varepsilon \|x\| $
（1）. $ \|f(T_nx)-f(Tx)\| \leq \|f\| \|T_nx-Tx\| \leq \varepsilon \|f\| $
定理2.2
设 $ X $ 是赋范空间, $ X_{1} $ 是 $ Banach $ 空间, 则 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 是 $ Banach $ 空 间
思路：
设$\{ T_n \}$是 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 中的Cauchy列，容易证明$\{ T_nx \}$是$X_1$中的Cauchy列，然后在$X_1$中收敛到$y$，由$x$和$y$构造算子$T$，后面证明$T$就是$\{ T_n \}$收敛到的算子
证明：
(1). 构造一个线性算子 $ T $
设 $ \left\{T_{n}\right\} $ 是 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 中的 Cauchy 列. 则对于任给的 $ \varepsilon>0 $ , 存在 $ N $ , 当 $ n, m \geqslant N $ 时, 有$ \left\|T_{n}-T_{m}\right\|<\varepsilon $ .于是, $ \forall x \in X $ ,$ \left\|T_{n} x-T_{m} x\right\| \leqslant\left\|T_{n}-T_{m}\right\|\|x\|<\varepsilon\|x\| $ ,这表明对于任何给定的 $ x \in X,\left\{T_{n} x\right\} $ 是 $ X_{1}$ 中的 Cauchy 列. 因为 $ X_{1} $ 完备, 故 存在 $ y \in X_{1} $ , 使得$ T_{n} x \rightarrow y(n \rightarrow \infty), \quad \forall x \in X $ .于是对于任意给定的 $ x \in X $ , 有唯一确定的 $ y \in X_{1} $ 和它对应, 我们可以定义 $ T x=y=\lim _{n \rightarrow \infty} T_{n} x $ 由于极限运算是线性的, $ T $ 是从 $ X $ 到 $ X_{1} $ 的线性算子.
(2). 证明 $ T $ 是有界线性算子.
注意到 $ \left|\left\|T_{n}\right\|-\left\|T_{m}\right\|\right| \leqslant\left\|T_{n}-T_{m}\right\| \rightarrow 0(n, m \rightarrow \infty), $ 即 $ \left\{\left\|T_{n}\right\|\right\} $ 是 Cauchy 数列. 故存在 $ M>0 $ , 使得 $ \left\|T_{n}\right\| \leqslant M(n=1,2, \cdots) . $ 由范数的连续性, 我们有 $ \|T x\|=\left\|\lim _{n \rightarrow \infty} T_{n} x\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_{n} x\right\| \leqslant M\|x\| . $ 故 $ T $ 是有界线性算子, 即 $ T \in \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) . $
(3). 证明 $ \left\{T_{n}\right\} $ 按范数收敛 (一致收敛) 到 $ T . $
因为 $ \forall \varepsilon>0, \exists N $ , 当 $ n, m \geqslant N $ 时,$ \left\|T_{n} x-T_{m} x\right\|<\varepsilon\|x\|, $ $ \forall x \in X $ 都成立. 令 $ m \rightarrow \infty $ , 由范数的连续性和 $ \lim _{m \rightarrow \infty} T_{m} x=T x $ 可推出 $ \left\|T_{n} x-T x\right\| \leqslant \varepsilon\|x\|(n>N), \quad \forall x \in X $ 即 $ \left\|T_{n}-T\right\| \leqslant \varepsilon(n>N), $ 于是有 $ T_{n} \rightarrow T(n \rightarrow \infty) . $ 综上可知 $ \mathscr{B}\left(X, X_{1}\right) $ 是 $ Banach $ 空间.