主要介绍有界线性算子的基本概念，包括算子的有界性，连续性
第1章 有界线性算子
定义1.1（算子的连续性）
若 $ \|x_n-x_0\| \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \|Tx_n-Tx_0\| \rightarrow 0 $ 则称算子 T 在 $ x_0 $ 处连续
注：上面是两个空间中不同的范数
定义1.2 （算子的有界性）
$ \exists M >0 , $ 对 $ \forall x \in D(T) $ , 有 $ \|Tx\| \leq M\|x\| $
定理1.3
T是有界的 $ \Leftrightarrow $ T 将有界集映成有界集
证明：
“ $\Rightarrow $ “ 设 T 有界，则 $ \exists M_1 >0 , $ 对 $ \forall x \in A $ , 有 $ \|Tx\| \leq M_1\|x\| $ ，其中 A 是有界集，$ \forall x \in A , \|x| | \leq M_2 $
$ \therefore \|Tx\| \leq M_1M_2 $
“ $\Leftarrow $ “ 由于 T 将有界集映成有界集，故有 $ \displaystyle \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| \leq M $
定理1.4
以下四个命题相互等价：
（1）. T 有界
（2）. T一致连续
（3）. T点点连续
（4）. T在一点连续
证明：
“ $ (1) \Rightarrow (2) $ “ $ \|Tx_1-Tx_2\| = \|T(x_1-x_2)\| \leq M\|x_1-x_2\| $
“ $ (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (4) $ “ 显然
“ $ (4) \Rightarrow (3) $ “ 设 T 在 $ x_0 $ 点连续，即 $ \|x_n-x_0\| \rightarrow 0 , Tx_n \rightarrow Tx_0 $ , 若 $ y_n \rightarrow y $ 那么 $y_n-y+x_0 \rightarrow x_0$,就有 $ T(y_n-y+x_0) \rightarrow Tx_0 $，得到 $ T(y_n-y) \rightarrow 0 $，即$ Ty_n\rightarrow Ty $，任意一点连续
“ $ (3) \Rightarrow (1) $ “ 反证法. 假若 T 无界, 则 $ \forall n>0, \exists x_{n} $ , 使得 $ \|T x_{n}\|>n\|x_{n}\| . $
令 $ y_{n}=\frac{x_{n}}{n\|x_{n}\|} $ , 可见 $ \|y_{n}\| \rightarrow 0 $ , 于是 $ y_{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) . $ 由于 T 连续, 所以 $ T y_{n} \rightarrow T 0=0 . $
但由上面假设有 $ \|T y_{n}\|=\frac{1}{n}\|\frac{T x_{n}}{\|x_{n}\|}\|>1 , $ 矛盾
定理1.5
设 $ (X,\|\cdot\|) $ 是有限维的赋范空间, $ (Y,\|\cdot\|) $ 是任意一个赋范空间, $ T $ 是从 $ X $ 到 $ Y $ 的线性算子, 则 $ T $ 是有界线性算子.
证明：
在 $ X $ 上定义一个新范数
显然范数前三个条件 $ \|\cdot\|_{1} $ 都满足, 且
即 $ \|\cdot\|_{1} $ 是 X 上定义的另一个范数.
因为 $ X $ 是有限维的赋范空间, 根据同一个有限维空间上定义的范数都是等价的, 于是 $ \|\cdot\| $ 和 $ \|\cdot\|_{1} $ 等价, 即: 存在 $ K>0 $ , 使得对于任意的 $ x \in X $ 有 $ \|x\|_{1} \leqslant K\|x\| $ .
根据 (公式1)和 (公式2), 我们有
$ \|T x\| \leqslant\|x\|_{1} \leqslant K\|x\|, $
这说明 $ T $ 是有界的.
定理1.6
若 $T$ 有界，则 $T$ 的零子空间 $N(T)$ 是闭集
证明：
$ \forall x \in \overline{N(T)}, \exists \{x_n\} \subset N(T),st.x_n\rightarrow x$
由$T$的连续性，$Tx_n\rightarrow Tx$，$ \because x_n \in N(T),Tx_n=0 \therefore Tx=0,x \in N(T).$